课程号：00130190
课程名称：微分流形
开课学期：春
学分： 3
先修课程：数学分析，高等代数，拓扑学
基本目的：通过课程学习，了解来自古典数学及物理学的微分流形例子，掌握流形上的微积分的基本理论框架和技术。
内容提要：打 (*) 号的部分为选讲内容，如果课时紧张可能不会讲。
一、微分流形的基本概念和例子
微分流形的定义，球面、射影空间、古典李群、齐性空间、Riemann 流形、复流形等例子，光滑映射，浸入与淹没，光滑子流形，单位分解定理。
二、向量场
切空间、余切空间，向量场，光滑流形的定向，单参数变换群，Frobenius 定理，切向量场的李导数，李群及其李代数的基本概念，微分流形上的联络、平行移动和协变微分，Riemann 流形的 Levi-Civita 联络，测地线，(*) 联络的挠率和曲率。
三、外微分形式
张量代数，外代数，外微分形式，外微分运算，用 Pfaff 方程组表达的 Frobenius 定理，李群的结构方程，De Rham 理论简介，体积形式，外微分形式的第一型和第二型积分，Stokes 定理，(*) Poincare 对偶定理，(*) Hodge 理论简介。
四、向量丛和主丛的联络
向量丛，(*) 主丛，向量丛上的联络，(*) 主丛上的联络，(*) 联络的曲率张量，(*) 关于示性类的 Chern-Weil 理论简介。
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
- 陈省身、陈维桓著：微分几何讲义，欧冠联赛直播免费观看出版社。
- 陈维桓著：微分流形初步（第二版），高等教育出版社。
- 白正国、沈一兵、水乃翔著：黎曼几何初步（前两章），高等教育出版社。
- 梅加强著：流形与几何初步（前三章），科学出版社。
- M. Spivak著，齐民友、路见可译：流形上的微积分（双语版），人民邮电出版社。
- B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry - Methods and Applications, Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields，Springer.
学生成绩评定方法：作业成绩+期末考试成绩。
课程修订负责人：包志强
